等效变换的概念
如果有两个电路N1、N2，其内部结构不同，但从端口看，它们的电压、电流关系相同（方向、大小均相同），则称它们是相互等效的电路，即N1与N2对外电路的影响是相同的。
电阻的串联、并联和混联
- 分压公式：
$$
u_k=\cfrac{R_k}{\sum{R_k}}u
$$
- 分流公式：
$$
i_k=\cfrac{G_k}{\sum{G_k}}i
$$
混联
电路在几何对称的情况下，应首先找出相应的等电位点，然后再进行化简
电桥：
![电桥]()
平衡条件（平衡时中间桥臂电流电压均为零）：
$$
\frac{R_1}{R3}=\frac{R_2}{R_4}
$$
一些翻转和变形：
分析法：
先判断电桥是否平衡。
平衡时中间桥臂电压为零可以将其短路（虚短）；平衡时中间桥臂电流为零可以将其断路（虚断）
而最后的计算结果相同
如果电桥不平衡，可采用 $Y-\triangle$ 变换的方法分析
注：平衡电桥只对无源支路成立
电阻的 $Y-\triangle$ （星形-三角形）变换
三端网络的等效概念
若两个三端网络与同一个外部电路相接时，电压 $$u_{12}, u_{23}$$ 与电流 $${i_1, i_2}$$ 之间的关系完全相同，则称这两个三端网络对外互为等效
对 $Y$ 电路
$$
\left{
\begin{aligned}
i_1=\frac{R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}u_{12}-\frac{R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}u_{31} \
i_2=\frac{R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}u_{23}-\frac{R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}u_{12} \
i_3=\frac{R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}u_{31}-\frac{R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}u_{23} \
\end{aligned}
\right.
$$对 $\triangle$ 电路
$$
\left{
\begin{aligned}
i^{‘}1=i{12}-i_{31}=\frac1{R_{12}}u_{12}-\frac1{R_{31}}u_{31} \
i^{‘}2=i{23}-i_{12}=\frac1{R_{23}}u_{23}-\frac1{R_{12}}u_{12} \
i^{‘}3=i{31}-i_{23}=\frac1{R_{31}}u_{31}-\frac1{R_{23}}u_{23} \
\end{aligned}
\right.
$$
等效变换公式：$\triangle \rightarrow Y$
$$
\left{
\begin{aligned}
R_1=\frac{R_{12}R_{31}}{\sum R_{ij}} \
R_2=\frac{R_{12}R_{23}}{\sum R_{ij}} \
R_3=\frac{R_{23}R_{31}}{\sum R_{ij}} \
\end{aligned}
\right.
$$
若 $$R_{12}=R_{23}=R_{31}=R$$，则 $$R_1=R_2=R_3=\cfrac R 3$$
分母为 $\triangle$ 形中三个电阻之和
分子为 $\triangle$ 形中与之对应节点相连的电阻之积
等效变换公式：$Y \rightarrow \triangle$
$$
\left{
\begin{aligned}
R_{12}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_{3}} \
R_{23}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_{1}} \
R_{31}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_{2}} \
\end{aligned}
\right.
$$
若 $$R_1=R_2=R_3=R$$，则 $$R_{12}=R_{23}=R_{31}=3R$$
分子为 $Y$ 形中三个电阻两两乘积之和
分母为 $Y$ 形中与之对应两节点的无关电阻
建议画出该图
例题
求 $R_{ab}$ :
首先选择比较容易变换的电阻进行变换：（$Y \rightarrow \triangle $）
$$
R_{ab}=\cfrac{1}{\cfrac19+\cfrac13+\cfrac14}\Omega=\cfrac{36}{25}\Omega
$$
理想电压源的串联和并联
理想电压源的并联必须是同极性、同数值
对外电路进行讨论时，与理想电压源并联的元件（支路）对外电路不起作用，对外电路讨论时可断开
计算流过理想电压源支路的电流时，并联支路的作用必须予以保留
理想电流源的串联和并联
- 理想电流源的并联，同方向（同向上或同向下）相加
- 理想电流源的串联必须是同方向、同数值
- 与理想电流源串联的元件（支路）对外电路不起作用，对外电路讨论时可短接
- 若求理想电流源的端电压时，串联支路的作用必须予以保留
实际电源的等效变换
等效互换条件：
$$
\begin{aligned}
R_{su}=R_{si}&\overset{\triangle}{=}R_{}s \
u_s&=R_si_s \
(i_s&=\frac{u_s}{R_s})
\end{aligned}
$$
注意：
- 两个条件必须同时满足
- 等效变换前后要保持电源方向的一致，即电流源的方向由电压源方向的 $“-“$ 指向 $“+”$
- 等效是对外部而言，对内不等效
例1
运用电源等效变换方法求 $u$
解：
理想电流源的并联可以等效为一个理想电流源（两个理想电流源的数值和）
再转化为电压源与 $6V$ 的电压源组合：
最终等效电路图：
$$
u=4\times\cfrac{\cfrac{5}{4}+2}{2}=6.5V
$$
例2
已知：$$U_{s1}=12V,U_{s2}=24V,R_1=R_2=20\Omega,R_3=50\Omega$$
含受控源电路等效电阻的求取
名词解释：
输入电阻
一个二端无源网络$N_0$，其端口处的电压与电流之比称之为该无源网络的输入电阻，即：
$$R_{in}=\dfrac{u}{i}$$
一个含受控源的简单二端网络，可以通过与独立源相似的等效变换来化简电路。
注意：
在化简过程中，必须保留受控源的控制变量支路
例：
求电路的输入电阻：
- 可见：含受控源电路的输入电阻为 “+” 为 “-” 均属正常，一定要注意物理量的方向
运用等效变换分析含受控源的电阻电路
注意：
等效变换中控制支路不参与等效变换，予以保留
例1
分析：
- 控制支路 $3\Omega$ 不参与等效变换
- 其余支路：$6A$ 和 $4A$ 可以等效变换，$9\Omega$ 和右侧的混联电阻可以做等效变换
可得到：
例2
另外一些例题
