电路基础04

叠加定理

• 线性函数的叠加性：

$$
f(ax_1+bx_2)=af(x_1)+bf(x_2)
$$

• 对于任一线性网络，若同时受到多个独立电源的作用，则这些共同作用的电源在某条支路上所产生的电压或电流，应该等于每个独立电源各自单独作用时，在该支路上所产生的电压或电流分量的代数和。

例 1

• 注意
  1. 只适用于线性电路中求电压、电流，不适用于直接求功率（因为求功率的函数不是线性的）；也不适用于非线性电路
  2. 某个独立电源单独作用时，其余独立电源全为零值，电压源用“短路”替代，电流源用“断路”替代
  3. 受控源不可单独作用，当每个独立源作用时均予以保留，将控制量改称为对应的控制分量
  4. 代数和指分量参考方向与总量方向一致取正，不一致取负。

例 2

例 3

• 当 $U_{s5}$ 单独作用时，$R_1R_4=R_2R_3$，电桥平衡（$R_6$ 是桥）
• 当 $U_{s6}$ 单独作用时，$R_1R_4=R_2R_3$，电桥平衡（$R_5$ 是桥）

例 4

解：

1. 设 $u_0=k_1i_s+k_2u_s$，带入求解得：$u_0=15V$
2. 设 $u_0=k^{‘}_1i_s+k^{‘}_2u_s-12$，带入求解得：$u_0=3V$

例 5 含受控源电路求解

注：

由于 $$U^{‘}{R2}=i{m1}R_2$$，

故： $$\alpha u^{‘}_{R2}=\alpha R_2i_{m1}$$

替代定理

在任意的线性或非线性网络中，若已知第 n 条支路的电压和电流为 $U_n$ 和 $I_n$，则不论该支路是何元件组成，总可以用下列的任何一个元件去替代：

• 电压值为 $U_n$ 的理想电压源
• 电流值为 $I_n$ 的理想电流源
• 电阻值为 $\cfrac{U_n}{I_n}$ 的理想线性电阻元件 $R_n$

替代后的电路中全部电压和电流都将保持原值不变。

戴维南定理和诺顿定理

对于任一含源线性二端网络，就其两个端钮而言，都可以用一条最简单支路对外部等效：

1. 戴维南定理：以一个电压源和一个电阻串联的等效电路替代

   

   电压源的电压值等于线性网络的开路电压 $U_{oc}$

   其串联电阻等于该含源线性二端网络中所有独立源为零时，由端钮看进去的等效电阻 $R{eq}$

2. 诺顿定理：以一个电流源和一个电阻并联的等效电路替代

   

   电流源的电流值等于该含源线性二端网络的短路电流 $I_{sc}$

   其并联电阻的确定同上

例 1

分析：并在 $\cfrac15V$ 电压源的电阻对外电路不起作用，可将其断开；可将原电路分成左右两部分，分别使用戴维南定理求取。

• 左边电压：

  

• 左边电阻

  

• 左右合并

  

例 2

例 3

解：根据戴维南定理，将 $R$ 支路以外的其余部分所构成的二端网络，用一个电压源 $U_{oc}$ 和电阻 $R_0$ 相串联去等效代替。

1. 求 $U_{oc}$：将 $R$ 支路断开，如图 (b) 所示。用节点电位法（取 b 点点位为 0）可求得：
   $$
   U_{oc}=\cfrac{\frac{2}{2+2+2}+1}{\frac1{2+2+2}+\frac12}=2V
   $$

2. 求 $R_0$：将两个独立源变为零值，即将 2V 电压源短路，而将 1A 电流源开路，如图 (c)所示。可求得：
   $$
   R_0=\cfrac{2\times(2+2+2)}{2+2+2+2}=\cfrac32\Omega=1.5\Omega
   $$

3. 根据所求得的 $U_{oc}$ 和 $R_0$，可作出戴维南等效电路，接上 $R$ 支路如图 (d) 所示，即可求得：
   $$
   I=\cfrac23A,U=1V
   $$

例 4

解：该题如果只用一次戴维南定理，直接求出 4Ω 电阻支路以左的等效电压源，则计算开路电压将会很麻烦。为此，可以逐次应用戴维南定理。

1. 先求图 (a) 中 ab 以左的戴维南等效电路。将最左侧电压源等效为电流源，再与 1A 电流源合并，最后再等效为电压源（也可以和例 3 一样，令 $u_b=0$，用节点电位法求取），得：

$$
U_{ab}=4V,R_{ab}=2\Omega
$$

2. 这样可得到图 (b)。同理，在图 (b) 中，先求左边两列的等效，得：
   $$
   U^{‘}=8V,R^{‘}=6\Omega
   $$
   再同理求 cd 以左的戴维南等效电路。于是有：
   $$
   U_{cd}=4V,R_{cd}=2\Omega
   $$

3. 得图 (d)。由此可求得：$I=\cfrac4{2+4}=\cfrac23A$

一般方法求等效电阻

1. 求等效电阻 $R_{eq}$ 时，若电路为纯电阻网络，可以用串、并联化简时，直接用串、并联化简的方法求
2. 无法用串并联化简时，则用一般方法求
3. 当电路中含受控源时，则一定要用一般方法求戴维南等效电阻

利用戴维南定理分析受控源的电路

原则：

• 被等效电路内部与负载内部不应有任何联系（控制量为端口 $U$ 或 $I$ 除外）
• 求 $R_{eq}$ 要用一般方法

例 1

• 求 $U_{oc}$

  控制量是被断开断口处的电压，断开断口处的电压即可以看作是负载部分的，也可以看作是被等效部分的

  

• 求 $R_{eq}$

  • 法一：外加激励法

  

  • 法二：开路短路法

    短路后 $U=0$，即控制量为零，所以受控源的输出量也等于零，受控源是一个受控电流源，输出量为零可视作断路

  

• 作戴维南等效电路求电压 $U$

  

例 2

分析：

断开待求支路，求戴维南等效电路时，会使控制量 $I_1$、被控制量 $2I_1 $ 分属被等效电路与负载两部分

故需要做控制量转移，图中可以看出 $U=1\Omega\times I$，故 $2I_1$ 可用 $2U$ 代替，这样控制量与被控质量同时属于负载部分。

1. 求等效电压

   • 当 $4V$ 电压源单独作用时：

   

   • 当 $1A$ 电流源单独作用时：

   

2. 求等效电阻

   电桥平衡，$R_{eq}=\cfrac{1+\cfrac{2+2}2}{1+\cfrac{2+2}2+1}=\cfrac34\Omega$

3. 求 $U,I$

   

*最大功率传输定理（不要求）