电路基础03

一般电路的网孔电流法

支路电流法

以支路电流为未知量，根据 KCL、KVL 列关于支路电流的方程，进行求解的过程

支路：任意一段无分支的电路
节点：三条及三条以上支路的连接点

基本步骤

选定各支路电流参考方向，列出各节点的 KCL 方程
对独立回路列关于支路电流的 KVL 方程
独立回路的选取
- 充分条件：当每个回路中均具有一条其他回路不具有的新支路时，这一组回路互相独立
- 平面电路（画在平面中不出现交叉导线的电路）：内网孔是一组独立回路
求解

缺点：未知量过多

网孔电流法

以网孔电流作为独立变量，根据 KVL 列出关于网孔电流的电路方程，进行求解的过程

网孔电流：假想沿着电路中网孔边界流动的电流

对于一个节点数为 n，支路数为 b 的平面电路，其网孔数为 $b-n+1$ 个，网孔电流数也为 $b-n+1$ 个

网孔电流的特点

独立性：网孔电流自动满足 KCL，而且相互独立

完备性：电路中所有支路电流都可以用网孔电流来表示

例：

基本步骤

指定网孔电流的参考方向，并以此作为列写 KVL 方程的回路绕行方向
根据 KVL 列写关于网孔电流的电路方程

如上图：
$$
\begin{cases}
R_1I_{m1}+R_5(I_{m1}-I_{m2})+U_{s4}+R_4(I_{m1}-I_{m3})-U_{s1}=0 \
R_2I_{m2}+U_{s2}+R_6(I_{m2}-I_{m3})+R_5(I_{m2}-I_{m1})=0 \
R_4(I_{m3}-I_{m1})-U_{s4}+R_6(I_{m3}-I_{m2})-U_{s3}+R_3I_{m3}=0 \
\end{cases}
$$

$$
\begin{matrix}
\Downarrow
\end{matrix}
$$

$$
\begin{cases}
(R_1+R_5+R_4)I_{m1}-R_5I_{m2}-R_4I_{m3}=U_{s1}-U_{s4} \
-R_5I_{m1}+(R_2+R_5+R_6)I_{m2}-R_6I_{m3}=-U_{s2} \
-R_4I_{m1}-R_6I_{m2}+(R_3+R_4+R_6)I_{m3}=U_{s3}+U_{s4} \
\end{cases}
$$

$$
\begin{matrix}
\Downarrow
\end{matrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
R_1+R_4+R_5 & -R_5 & -R_4 \
-R_5 & R_2+R_5+R_6 & -R_6 \
-R_4 & -R_6 & R_3+R_4+R_6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{m1} \
I_{m2} \
I_{m3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
U_{s1}-U_{s4} \
-U_{s2} \
U_{s3}+U_{s4} \
\end{bmatrix}
$$

网孔电流方程的一般形式

$$
\begin{bmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13} \
R_{21} & R_{22} & R_{23} \
R_{31} & R_{32} & R_{33} \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{m1} \
I_{m2} \
I_{m3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
U_{s11} \
U_{s22} \
U_{s33} \
\end{bmatrix}
$$

解释：

系数矩阵主对角线上的元素：$R_{ij}(i=j)$ 称为自电阻，为第 $i$ 个网孔中各支路的电阻之和，值恒为正

如上图中的：

$R_{11}=R_1+R_4+R_5$

$R_{22}=R_2+R_5+R_6$

$R_{33}=R_3+R_4+R_6$
系数矩阵非主对角线上的元素：$R_{ij}(i\not=j)$ 称为互电阻，为第 $i$ 个与第 $j$ 个网孔之间公共支路的电阻之和，值可正可负，当相邻网孔电流在公共支路上流向一致为正，不一致时为负。
不含受控源的电路系数矩阵为对称阵。
$U_{sii}$ 为第 $i$ 个网孔中的等效电压源，其值为该网孔中各支路电压源电压值的代数和。当电压源方向与绕行方向一致时取负，不一致时取正 （这是由于把电压源由方程左端搬到方程右端所导致的）。

网孔电流法的分析步骤

一般电路（电路中仅含电压源）的网孔法：

选取各网孔电流绕行方向
利用直接观察法（自电阻、互电阻、等效电源）形成方程

$$
\begin{aligned}
\sum(\text{自电阻}\times\text{本网孔电流})\pm\sum{(\text{互电阻}\times\text{相邻网孔电流})} \
=\sum{\text{本网孔电压源代数和}}
\end{aligned}
$$
方程求解

含理想电流源支路的网孔电流法

第一类：含实际电流源：电源等效变换，按一般电路网孔电流分析方法进行电路分析

第二类：含理想电流源，分以下两种情况

理想电流源支路位于网孔边沿支路（网孔电流等于电流源电流）
- 选取网孔电流绕行方向，其中含理想电流源支路的网孔为已知量 $$I_{m2}=-I_s$$
- 对不含电流源支路的网孔根据直接观察法列方程：$$(R_1+R_3)I_{m1}-R_3I_{m2}=U_s$$
- 注意：若对含理想电流源支路的网孔列网孔电流方程时必须考虑理想电流源的端电压
理想电流源支路位于网孔公共支路
- 选取网孔电流绕行方向，虚设电流源电压 $U$
- 根据直接观察法列方程：
  $$
  \begin{cases}
  (R_1+R_2)I_{m1}-R_2I_{m2}+U=U_s \
  -R_2+(R_2+R_3)I_{m2}-U=0 \
  \end{cases}
  $$
- 添加约束方程：$$I_{m2}-I_{m1}=I_s$$
- 求解
~~为啥我觉得直接列 KCL 和 KVL 方程更简单直接呢？~~

含受控源电路的网孔电流法

注意：系数矩阵不再是对称矩阵

含理想电流源支路的回路电流法

以回路电流作为电路独立变量进行电路分析的方法称为回路电流法

适用于多个理想电流源支路的电路

回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流

电路中的独立回路数即为网孔数

一个具有 b 条支路和 n 个节点的电路，其独立回路数为 $$(b-n+1)$$

解：

适当选取回路，使独立电源支路只有一个回路电流流过：

$$I_{l1}=2A;,I_{l2}=3A;,I_{l3}=1A$$
对回路 4 列写回路电流方程：

$$
\begin{matrix}
-2I_{l1}-2I_{l2}+3I_{l3}+5I_{l4}&=5+1+3 \
&\Rightarrow I_{l4}=3.2A \
\therefore I=I_{l4}=3.2A
\end{matrix}
$$

一般电路的节点电压法

以独立节点的电压作为独立变量，根据 KCL 列出关于节点电压的电路方程，进行求解的过程
节点电压法适用于结构复杂、非平面电路、独立回路选择麻烦、以及节点少、回路多的电路的分析求解。

节点电压：

在电路中任意选择一个节点为参考节点（也称非独立节点）. 其它节点即为独立节点。独立节点与参考点之间的电压,称为该节点的节点电压.

节点电压的两个特点：

独立性：节点电压自动满足 KVL，且相互独立

完备性：电路中所有支路电压都可以用节点电压表示

节点电压方程的一般形式

$$
\begin{bmatrix}
G_{11} & G_{12} & G_{13} \
G_{21} & G_{22} & G_{23} \
G_{31} & G_{32} & G_{33} \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_{n1} \
U_{n2} \
U_{n3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
I_{s11} \
I_{s22} \
I_{s33} \
\end{bmatrix}
$$

解释：

系数矩阵主对角线上的元素：$G_{ij}(i=j)$ 称为自电导，为连接到第 $i$ 个节点中各支路的电导之和，值恒为正
系数矩阵非主对角线上的元素：$G_{ij}(i\not=j)$ 称为互电导，为连接于节点 $i$ 个与节点 $j$ 之间支路上的电导之和，值恒为负。
不含受控源的电路系数矩阵为对称阵。
$I_{sii}$ 为流入第 $i$ 个节点的各支路电流源电流值代数和。流入取正，流出取负 （这是由于把电流源由方程左端搬到方程右端所导致的）。

节点电压法的分析步骤

指定电路中某一节点为参考点，标出各独立节点电位（符号）
利用直接观察法形成方程
$$
\begin{aligned}
\sum(自电导\times本节点电压)-\sum{(互电导\times相邻节点电压)} \
=\sum{流入本节点的电流源代数和（流入节点取正，流出取负）} \
\end{aligned}
$$

列写第 n 个节点电压方程时
- 与 n 节点相连接的支路上的电阻元件的电导之和（自电导）一律取 “+” 号
- 与 n 节点相关联支路的电阻元件的电导（互电导）一律取 “-” 号。流入 n 节点的理想电流源的电流取 “+” 号，流出的取 “-” 号。
方程求解